菱形与动态问题(1)——中考备考系列[尖子生之路]
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菱形与动态问题(1)
——中考备考系列
【试题1】以菱形ABCD的对角线交点O为坐标原点，AC所在的直线为x轴，已知A（﹣4，0），B（0，﹣2），M（0，4），P为折线BCD上一动点，作PE⊥y轴于点E，设点P的纵坐标为a．
（1）求BC边所在直线的解析式；
（2）设y=MP2+OP2，求y关于a的函数关系式；
（3）当△OPM为直角三角形时，求点P的坐标．
【图文解析】
（1）简析：根据菱形的性质（含对称性）可得C（4，0）. 设直线BC的解析式为y=kx﹣2，将B、C两点坐标代入，得：4k﹣2=0，解得k=1/2，所以直线BC的解析式为y=1/2x﹣2.
（2）简析：由（1）知，C（4，0），D（0，2），可求得直线CD为y=﹣1/2x+2，直线BC为y=1/2x﹣2.下面分两种情况：
情况一：当点P在边BC上时，如下图示，
因点P的纵坐标为a．所以a＝1/2x﹣2得x=2a+4，所以P（2a+4，a）（﹣2≤a＜0）.由勾股定理，得：
y=MP2+OP2=…=10a2+24a+48.
情况二：当点P在边CD上时，如下图示：
因点P的纵坐标为a．所以a＝－1/2x+2得x=4－2a，所以P（4－2a，a）（﹣2≤a＜0）.由勾股定理，得：
y=MP2+OP2=…=10a2﹣40a+48，
综上所述，…….
（3）通过画图，只有可能两种下列两种情况：
第一种情况，即当∠POM=90°时，点P与C点重合，显然P（4，0）.
第二种情况，即当∠MPO=90°时，充分利用与“900（直角）”相关的的常用思路和方法（之前本公众号有多篇文章已有叙述），如下图示：
（当然本题也可以用“相似”和“勾股定理的逆定理”来解，但都不及这种用“三角函数的定义”来解快。）
【反思】本题难度不大，都是属于常规题，尤其是与“90°（直角）”相关的常用的辅助线务必要熟练掌握.
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【试题2】如图，P为∠AOB内一点，OC=m(m为正数），过点P分别作PQ∥OA交OB于点Q，PM∥OB交OA于点M ．C为射线OA上任一点，连结CP并延长交OB于N点..
（1）若∠AOB=60°，OQ:OM:MC=1:4:2，探索CN、ON、OC之间的数量关系并加以证明．
（2）当点P在边∠AOB的平分线上运动时，问：1/OM－1/ON的值是否发生变化？如果变化，指出该值随m的变化情况；如果不变，请说明理由．
（3）在（2）的条件下，若m＝3，菱形OMPQ的面积为S1，△NOC的面积为S2，求S1 /S2的取值范围.
【试题】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在边AB、AD上．若AE=DF，求证△ADE≌△DBF．
（本题是基本题，仅是为也引入其他相关内容）
【图文解析】
如下图示，显然有：
根据SAS不难得到△ADE≌△DBF
【深化】如图，在菱形ABCD中，AB=BD，点E、F分别在BA、AD的延长线上．若AE=DF，△ADE与△DBF是否全等？如果全等，请证明；如果不全等，请说明理由．
【拓展1】如图，在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD的延长线上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=32°，求∠ADE的度数．
【图文解析】由于“点O是AD边的垂直平分线与BD的交点”，所以OA＝OD，如下图示，
【拓展2】如图，在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在OA、AD上．若AE=DF，∠ADB=50°，∠AFB=72°，求∠ADE的度数．
（动手练一练，不要急着看答案哦！）
【图文解析】由于“点O是AD边的垂直平分线与BD的交点”，所以OA＝OD，如下图示，
不难得到：△ADE≌△DBF.
所以∠ADE＝∠DBF＝220
【拓展3】在▱ABCD中，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在AO、DA的延长线上, 且AE=DF．请画出图形并说明，是否仍有△ADE≌△DBF？
（动手画一画，不要急着看答案哦！）
【图文解析】
画出符合条件的图形，如下图示：
显然仍然有△ADE≌△DBF，证明类似，如下图文解析：
【拓展4】如图，在▱ABCD中，AD＜AB，∠DAB＜600，AD=BD，点O是AD边的垂直平分线与BD的交点，点E、F分别在AO、DA的延长线上, 且AE=DF．请画出图形并说明，是否仍有△ADE≌△DBF？
（动手画一画，不要急着看答案哦！）
【图文解析】
画出符合条件的图形，如下图示：
显然仍然有△ADE≌△DBF，证明类似，如下图文解析：
【反思】本题不难，但综合性较强，同时也可训练动态图形的画图能力.
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